Unidad I

Conceptos Fundamentales

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, etc (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

La geometría es arte y ciencia, es matemática y filosofía. Forma uno de los sistemas más perfectos de la lógica, desarrolla disciplina mental y proporciona conocimientos indispensables para continuar estudios superiores.

Aprenderemos a comprobar las proposiciones por razonamiento tanto inductivo como deductivo, analizando un problema en función de los datos que se den, las leyes y principios seran  aceptados como verdaderos mediante una reflexión cuidadosa.

Para empezar vamos a definir terminos que debén tener el mismo significado para cada uno de nosotros.  

Términos indefinidos

PUNTO

Euclides definío al punto como el elemento geometrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo la palabra "posición" y  "dimensión" tampoco están definidas, no podriamos definir una palabra en terminos de otras que no lo están; la solución es no definir el punto, la razón es porque ya tenemos una noción intuitiva de lo que es el punto.

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Se lo hace por medio de un simbolo (. o x)

DENOMINACIÓN

Por medio de una letra mayúscula alado del simbolo gráfico,  .A  o xA
 

FIGURA GEOMÉTRICA

Es la colección o conjunto de puntos. 

RECTA

Es la figura geométrica que tiene la minima distancia entre dos puntos y se prolonga indefinidamente.

DENOMINACIÓN

Por medio de dos letras mayusculas que representan a dos puntos de la recta o mediante una letra mayúscula cerca de la recta.

 

PUNTOS COLINEALES

Son los puntos que pertenecen a una misma recta

PLANO

Plano (geometría) es el elemento ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas, se representan con una letra mayúscula ubicada en una de las esquinas.

Cuando se habla de un plano, se está hablando de la figura geométrica que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no colienales.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas
  • Dos rectas paralelas.
  • Dos rectas que se cortan.

REPRESENTACIÓN GRAFICA  

DENOMINACIÓN

Por medio de letras mayúsculas en los vertices o por medio de una letra mayúscula en el interior de la figura

PUNTOS COPLANARES 
Son los puntos que pertenecen a un mismo plano

La recta y los números reales 

Para ubicar un punto en la recta que tiene posición se utiliza el método de las coordenadas, lo que indica su posición mediante número que se denominaran coordenadas del mismo.

Posición relativa de dos puntos sobre la recta

Toda recta tiene correspondencia biunivoca con los números reales, esto quiere decir que a cada número real le corresponde un punto en la recta y  a cada punto de la recta le corresonde un número real.

Valor absoluto 

Se lo define como:

|N|  = N si y solo si N > = 0   o;                            |N|  =  - N si y solo si N < 0

Distancia entre dos puntos

Es el valor absoluto de la diferencia entre dos puntos

Ejemplo:    m = | X2 - X1|

o tambien

                 m = | X1 - X2|

 

Segmento

Es la figura geométrica de puntos colineales cuyos elementos son los puntos A y B y todos los puntos entre A y B, Los puntos A y B se denominan extremos

REPRESENTACIÓN GRAFICA

DENOMINACIÓN

Por los extremos del segmento

Segmento unitario

Es el segmento arbitrario que se toma como unidad de medida de otros segmentos

Longuitud de un segmento

Es un número que representa las veces que está contenido el segmento unitario en el segmento AB. 

Propiedades de un segmento

Dados los puntos colineales A, B y C, B está entre A y C, si AB + BC = AC 

Dados los puntos colineales A, B y C, B es punto medio del  AC, si AB = BC

Operaciones con segmento  

Adición de segmentos

Es encontrar un nuevo segmento cuya longuitud represente la suma de los segmentos dados

Sustracción de segmentos

Restar un segmento de otro menor, es encontrar un tercer segmento el cual sumado al segmento menor (segundo) de como resultado el segmento mayor (primero)

Multiplicación de segmentos

Consiste en encontrar un segmento cuya longuitud sea igual al producto del segmento dado por el número

División de un segmento por un número 

Es encontrar un segmento tal que al multiplicarlo por el número por el cual se divide nos da el segmento inicial

PROPOSICIONES

Son axiomas, postulados, teoremas y corolarios que se utilizan con frecuencia

AXIOMA

Son proposiciones que siendo evidentes no requieren demostracción, pues son el resultado del sentido comun, de la observación y de la experiencia

Identidad

    a = a
Axioma de sustitución
Toda cantidad puede reemplazarse por su igual

Propiedades de igualdad
Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si
Si a cantidades iguales se suman, restan, multiplican, dividen, se elevan a una misma potencia o se extraen las mismas raices la igualdad en las cantidades se mantiene. 

Propiedades de desigualdad
El todo es mayor que cualquiera de sus partes e igual a la suma de las mismas
Si una cantidad es mayor que otra y es es mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera cantidad.
Si se cambian los signos de los miembros de una desigualdad, la desigualdad cambia de sentido.

POSTULADO
Son proposiciones, cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma, se lo acepta sin demostración.
He aquí algunos postulados importantes

1. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y sólo una
2. Por tres puntos dados cualesquiera no colineales, pasa un plano y solo uno
3. Si dos puntos están en un mismo plano entonces la recta que los contiene pertenece al plano
4. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos
5. El camino más corto entre dos puntos es el segmento que los une
6. Se puede trazar un circulo con centro y radio dados
7. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensión
8. La intersección de dos planos es una recta

TEOREMA

Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada; una vez demostrado un teorema se lo puede utilizar para demostrar otros teoremas, junto con axiomas y/o postulados.

RELACIONES ENTRE TEOREMAS

Según como se tome la hipótesis y tesis de un teorema, pueden existir las siguientes proposiciones.

DIRECTA

Es el enunciado del teorema original

Ej: Todos los puntos de la perpendicular bisectriz de un segmento equidistan de este

RECIPROCA

Es la proposición que tiene por hipótesis y tesis, la tesis y la hipótesis de la proposición directa. Una proposición reciproca puede ser verdadera o falsa  

CONTRARIA

Es la proposición que tiene por hipótesis y tesis la negación respectivamente de la hipótesis y tesis de la proposición directa. 

CONTRARECIPROCA

Es la proposición contraria a la reciproca de la directa

COROLARIO

Es una proposición, consecuencia directa de un teorema demostrado, no requiere de demostración

PROBLEMA

Es una situación particular que se plantea para ser resuelta

Congruencia

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y medida; al superponerla coinciden en todos sus puntos.

La congruencia implica de hecho una igualdad de medida, pero siempre la igualdad de medida implica congruencia   

Igualdad

Dos figuras geométricas son iguales si tienen igual medida y no necesariamente la misma forma. La igualdad esta relacionada a la medida la congruencia lo está con la figura geométrica

Semejanza

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados respectivamente proporcionales.

Identidad

Se tiene identidad, cuando nos referimos a una misma figura geométrica